数学集合知识点总结

数学集合知识点总结

  集合是高中数学中的一个重要考点,相关的知识掌握并不是十分的难,下面是小编想跟大家分享的数学集合知识点总结,欢迎大家浏览。

数学集合知识点总结

  数学知识点总结1

  一、知识归纳:

  1、集合的有关概念。

  1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集)、其中每一个对象叫元素

  注意:

  ①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

  ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

  ③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

  2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

  3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

  4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

  2、子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

  1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);

  2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )

  3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}

  4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}

  5)补集:CUA={x| x A但x∈U}

  注意:

  ①? A,若A≠?,则? A ;

  ②若 , ,则 ;

  ③若 且 ,则A=B(等集)

  3、弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:

  (1) 与 、?的区别;

  (2) 与 的区别;

  (3) 与 的区别。

  4、有关子集的几个等价关系

  ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

  ④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

  5、交、并集运算的性质

  ①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;

  ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

  6、有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n—1个非空子集,2n—2个非空真子集。

  二、例题讲解:

  【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系

  A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

  分析一:从判断元素的共性与区别入手。

  解答一:对于集合M:{x|x= ,m∈Z};对于集合N:{x|x= ,n∈Z}

  对于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n—1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。

  分析二:简单列举集合中的元素。

  解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

  = ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,

  = P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。

  点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

  变式:设集合 , ,则( B )

  A、M=N B、M N C、N M

  解:

  当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

  【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

  A)1 B)2 C)3 D)4

  分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

  解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

  变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

  A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

  变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A。

  解:由已知,集合中必须含有元素a,b。

  集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}。

  评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 。

  【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

  解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3。

  ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

  ∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为—2和1,

  ∴ ∴

  变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值。

  解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=—5

  ∴B={x|x2—5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

  又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=—(2+2)=4,c=2×2=4

  ∴b=—4,c=4,m=—5

  【例4】已知集合A={x|(x—1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>—2},且A∩B={x|1

  分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

  解答:A={x|—21}。由A∩B={x|1—2}可知[—1,1] B,而(—∞,—2)∩B=ф。

  综合以上各式有B={x|—1≤x≤5}

  变式1:若A={x|x3+2×2—8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>—4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=—2,b=0)

  点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

  变式2:设M={x|x2—2x—3=0},N={x|ax—1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

  解答:M={—1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

  ①当 时,ax—1=0无解,∴a=0 ②

  综①②得:所求集合为{—1,0, }

  【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2—2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

  分析:先将原问题转化为不等式ax2—2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。

  解答:(1)若 , 在 内有有解

  令 当 时,

  所以a>—4,所以a的取值范围是

  变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

  解答:

  点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

  数学知识点总结2

  一、集合与函数概念

  1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

  2、集合的中元素的三个特性:元素的确定性;元素的互异性;元素的无序性。

  集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A

  列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

  描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

  ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  ②数学式子描述法

  二、函数的有关概念

  1、函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作:y=f(x),x∈A。其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的.值域。

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B”

  给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B。且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

  说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,

  ①集合A、B及对应法则f是确定的;

  ②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;

  ③对于映射f:A→B来说,则应满足:

  (Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

  (Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

  (Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  拓展阅读:学习数学的方法

  第一、兴趣。

  如今的家庭和学校对孩子的期望很高,而且女生的性格普遍较为文静,心理不够强大,还有的就是数学这科目难度相对来说较高,很容易会导致女生对数学的兴趣降低。

  所以说,作为老师应该多关心她们的学习情况,多与她们交流科目上的内容,了解她们的想法,只有理解她们的想法才能有效的制定相应的学习计划,为她们驱除紧张的情绪,从而达到一个好的学习状态。与此同时,作为家长的应该多关心孩子的情况,不要一看到成绩不好就开口训斥,这样对孩子的心理会造成一定的影响,甚至可能削弱孩子对数学的兴趣。我们应该用积极的态度去对待孩子的学习,女生的情感与男生不同,她们对于感兴趣的,一般会更有耐心克服困难,达到自己的目标。

  第二、自信。

  女生的形象思维能力一般比男生要差,逻辑思维能力也如此,所以容易造成没有信心的现象。事实上,女生在运算准确率方面是很高的,也比较规范,所以我们看到女生的数学答题大都很工整,其实这是一个优点。

  所谓每个人都有优缺点,我们不应该因为自己的缺点而妄自菲薄,而是应该努力克服缺点,增强自己的自信心,在学习上应该多了解通解通法,还有一些常用的数学公式,解题技巧,还有解题速度。很多女生解数学题的速度都不快,甚至有些女生到时间了还有几道大题没做,这样丢分是让人很遗憾的。

  第三、学习方法。

  很多女生在学习数学的时候喜欢按部就班,注重基础,但是却很少做难题,所以便导致了解题能力薄弱。女生上课的时候很认真,复习的时候喜欢看笔记和书本,但是却忽视了对自己能力的训练,所以导致了自己适应性比较差。

  所以,女生应该从这几点下手,多下功夫,对于难题我们不要害怕,但是也不能一味地做难题,适当的训练,对于自己的数学能力是有很大提升的。还有,女生在学习数学的时候应该多向男生学习,学习他们的一些优秀技巧,进而转化为自己的学习技巧,结合在做题上,多训练,相信对自己的数学水平是有很大帮助的。

  第四、课前预习。

  正所谓“笨鸟先飞”,我们经过预习可以提前对新内容有一个大概的了解,从而在听课的时候能够有的放矢,对自己不了解的知识点着重注意,很可能会有奇效。而提前预习,还能对女生的心理有一个暗示,对女生的信心提高也是有极大的好处。

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